C++教程

汉诺塔问题

汉诺塔问题描述：

汉诺塔由三根柱子（分别用A、B、C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。

提示

首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

图片

题干分析:

1.无论什么情况下,满足大盘子在下,小盘子在上
2.一次仅能移动1个盘子
3.可以使用中转柱C
4.目标是把A柱子的所有盘按原来顺序移动到B柱子

算法分析

递归

代码实现

#include 
using namespace std;
int n;
char a,b,c;

void d(int n,char a,char b,char c){
    if(n<1)return ;
    d(n-1,a,c,b);//递归
    printf("%c->%d->%c\n",a,n,b);//表示一次移动
    d(n-1,c,b,a);//递归
}
int main() {
    cin>>n>>a>>b>>c;//输入盘数,三个柱子的编号
    d(n,a,b,c);
    return 0;
}

同类扩展：
题目:

这是一个天文数字，若每一微秒可能计算(并不输出)一次移动，那么也需要几乎一百万年。我们仅能找出问题的解决方法并解决较小N值时的汉诺塔，但很难用计算机解决64层的汉诺塔。若有一个常规汉诺塔问题,但要求是输出移动次数,并且数据大于64,小于200,普通递归算法无法胜任

思路:

从递归中可以总结出,移动次数是有规律的,共n层的汉诺塔最少需要2^n -1次移动,如果是双重汉诺塔(及有n组两个大小相同的盘相叠)则需要2^(n+1) -2次
数据量很大,需要使用高精度算法

代码实现

#include 
using namespace std;
long long n, lc;
int a[222];

void chen() {
    for (int i = 0; i < lc; i++) //先加
        a[i] = a[i] * 2;

    for (int i = 0; i < lc; i++) { //进位
        a[i + 1] += a[i] / 10;
        a[i] %= 10;
    }
    if (a[lc] != 0)
        lc++;
}

void pre(int n) {
    a[0] = 1;
    lc = 1;
    //计算2^(n+1)-2
    for (int i = 1; i <= n + 1 ; i++) {
        chen();

    }
 a[0] -= 2;
    //借位
    for (int i = 0; i < lc; i++) {
        if (a[i] < 0) {
            a[i + 1] -= 1;
            a[i] += 10;
        } else
            break;
    }
}

int main() {
    //freopen("hanoi.in", "r", stdin);
    //freopen("hanoi.out", "w", stdout);

    cin >> n;
    pre(n);

    for (int i = lc-1; i>=0; i--) {
        cout << a[i];
    }
    return 0;
}